九上二次函数(概念、二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质)

2018-12-13 20:11:53 jask 31

九上二次函数(概念、二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质

重难点:

1.会根据实际问题列出函数的关系式,并写出自变量的取值范围;

2.会作出y=ax2y=ax2c的图象,并能比较它们与y=x2的异同,理解ac对二次函数图象的影响

3.能说出y=ax2cy=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.

要点一、函数的概念

 一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x,y,对于自变量x在某一范围内的每一个确定值,y都有惟一确定的值与它对应,那么就说y是x的函数.

对于自变量x在可以取值范围内的一个确定的值a,函数y有惟一确定的对应值,这个对应值叫做当x=a时函数的值,简称函数值.

要点诠释:
  对于函数的概念,应从以下几个方面去理解:
  (1)函数的实质,揭示了两个变量之间的对应关系;
  (2)判断两个变量之间是否有函数关系,要看对于x允许取的每一个值,y是否都有惟一确定的值与它相对应;

3)函数自变量的取值范围,应要使函数表达式有意义,在解决实际问题时,还必须考虑使实际问题有意义.

要点二、函数的三种表示方法

表示函数的方法,常见的有以下三种:
  1)解析法:用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式,(或解析式),用数学式子表示函数的方法称为解析法.
  2)列表法:用一个表格表达函数关系的方法.
  3)图象法:用图象表达两个变量之间的关系的方法.
要点诠释:

函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系,但较抽象,不是所有的函数都能列出解析式;列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值,这会对某些特定的数值带来一目了然的效果,例如火车的时刻表,平方表等;图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势,而且对于一些无法用解析式表达的函数,图象可以充当重要角色.

对照表如下:

 

表示方法

全面性

准确性

直观性

形象性

列表法

×

×

解析式法

×

×

图象法

×

×

要点三、二次函数的概念

一般地,形如y=ax2+bx+c(a, b, c常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数. 

b=0,则y=ax2+c; 若c=0,则y=ax2+bx; 若b=c=0,则y=ax2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式,而y=ax2+bx+ca0是二次函数的一般式. 

要点诠释:

如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),那么y叫做x的二次函数.这里,当a=0时就不是二次函数了,但b、c可分别为零,也可以同时都为零.

要点一、二次函数y=ax2a≠0)的图象与性质

1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象

二次函数y=ax2的图象如图,是一条关于y轴对称的曲线,这样的曲线叫做抛物线.      

抛物线y=ax2a≠0的对称轴是y轴,的顶点是坐标原点.当a> 0时,抛物线的开口向上,顶点是的最低点;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是它的最高点.

2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法——描点法

描点法画图的基本步骤:列表、描点、连线.

1)列表:选择自变量取值范围内的一些适当的x的值,求出相应的y值,填入表中.(自变量x的值写在第一行,其值从左到右,从小到大.)  

2)描点:以表中每对x和y的值为坐标,在坐标平面内准确描出相应的点.一般地,点取的越多,图象就越准确.

3)连线:按照自变量的值由小到大的顺序,把所描的点用平滑的曲线连结起来.

要点诠释:

1)用描点法画二次函数y=ax2a≠0的图象时,应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值,然后计算出对应的y值.

2)二次函数y=ax2(a≠0)的图象,是轴对称图形,对称轴是y轴.y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数.

3)画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点.

3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质

二次函数y=ax2a≠0)的图象的性质,见下表:

函数


图象

开口方向

顶点坐标

对称轴

函数变化

最大(小)值

y=ax2 

a>0

image.png 

向上

(0,0)

y轴

x0时,y随x增大而增大;

x0时,y随x增大而减小. 

 当x=0时,y最小=0

y=ax2 

a<0

1544696285213984.png 

向下

(0,0)

y轴

x0时,y随x增大而减小;

x0时,y随x增大而增大. 

 当x=0时,y最大=0

要点诠释:
    顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. │a│相同,抛物线的开口大小、形状相同.

│a│越大开口越小图象两边越靠近y轴,│a│越小开口越大,图象两边越靠近x轴.

要点二、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象与性质 

1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象

1)a>0 

image.png 

 

 

 

 

 

2)a<0

 image.png

 


2.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质

关于二次函数image.png的性质,主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究.下面结合图象,将其性质列表归纳如下:

函数

image.png 

image.png 

图象

image.png 

image.png 

开口方向

向上

向下

顶点坐标

(0,c)

(0,c)

对称轴

y轴

y轴

函数变化

当x>0时,y随x的增大而增大;

  当x<0时,y随x的增大而减小.

x>0时,y随x的增大而减小;

  当x<0时,y随x的增大而增大.

最大(小)值

image.png时,image.png

image.png时,image.png

 

 

失分点:1、对二次函数概念认识不清,仅关注二次项的指数,忽视二次项的系数;

2、对二次函数的图象信息不能正确、全面地获取;

3、不能综合应用数学知识灵活解决问题;

4、不能正确应用二次函数图象性质解题。

 

 

本节知识在中考中选择、解答题(23题压轴题)均有涉及。


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